Gödels Stellingen

[ProgHead]

In een ander topic werd Gödel genoemd. Een bespreking van de theorieën van Kurt Gödel verdient echter een eigen topic, en dat topic wil ik hier aan de hand van een berichtje van willem1958 starten. willem1958 schreef:

Voor zover ik iets van Gödel heb begrepen is dat er geen systeem bestaat dat volledig is en dus altijd weerlegd kan worden, maw er is geen ultieme waarheid.
Bewijs jij maar het tegendeel.
Altijd leuk: iemand die voor God wil spelen.
Als iets volledig zou zijn betekent het 't einde van creativiteit en de schepping, dat zou niet best zijn in ieder geval.
Uiteindelijk kom je als je het doortrekt in chaos terecht en da's lastig voor wetenschappers want daar kunnen ze niet goed tegen maar ik denk dat we toch moeten accepteren dat de natuur oneindig is in variaties.

Hieronder zal ik punt voor punt op Willems berichtje in gaan.

 

[ProgHead]

Voor zover ik iets van Gödel heb begrepen is dat er geen systeem bestaat dat volledig is

Eerst eens zien of je Godels stellingen wel juist interpreteert. Wat versta je onder een volledig systeem?

 

[krautrock1958]

Eerst eens zien of je Godels stellingen wel juist interpreteert. Wat versta je onder een volledig systeem?

Ik ben geen wiskundige dus waarschijnlijk zal m'n omschrijving niet precies gelijk zijn aan wat er op schrift staat maar ik versta er onder dat een volledig systeem betekent dat daarin alles bekend en bewezen is.

 

[ProgHead]

Ik ben geen wiskundige dus waarschijnlijk zal m'n omschrijving niet precies gelijk zijn aan wat er op schrift staat maar ik versta er onder dat een volledig systeem betekent dat daarin alles bekend en bewezen is.

Dat komt wel aardig in de buurt van de officiële betekenis, maar we moeten nog even de puntjes op de i zetten:

Een logisch systeem heet precies dan volledig wanneer alle in dat systeem te formuleren uitspraken ofwel waar ofwel onwaar zijn en alle ware uitspraken bovendien met behulp van de afleidingsregels van het systeem bewijsbaar waar zijn en alle onware uitspraken bovendien met behulp van de afleidingsregels van het systeem bewijsbaar onwaar zijn. Er mogen binnen een volledig systeem dus geen ware of onware uitspraken bestaan waarvan de waarheid of onwaarheid met de afleidingsregels van dat systeem niet kan worden aangetoond.

Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B...s#Completeness

 

[krautrock1958]

Om even voort te gaan op dit onderwerp, zoals bekend kwam Gödel met z'n stelling die op dat moment een beetje in tegenspraak was met wat de toenmalige natuurkundigen dachten; die waren in de overtuiging dat men zo'n beetje in de eindfase van de natuurkunde zat en dat het niet lang zou duren of alles zou bewezen zijn en niets was minder waar en dat maakt alles weer leuk en spannend.
Gödel liet met z'n stelling zien dat in feite elk systeem onvolledig was en dat is waar ik gisteren op duidde.
Zolang de natuur en dus ook de mens creatief is zal er altijd ontwikkeling zijn en ook al vinden wetenschappers dit misschien niet leuk; niet alles zal te vangen zijn maar zo blijven ze wel aan het werk, da's ook mooi toch?
Een en ander houd dan ook in dat de wetenschap nooit de waarheid zal verkondigen, hooguit zal zij bepaalde zaken kunnen aantonen dmv bewijs maar dat wil niet zeggen dat alles wat ze zeggen ook helemaal juist is, integendeel zelfs.
In een dynamisch, evoluerend universum zullen altijd nieuwe paden zich ontvouwen en zal de wetenschap er achteraan lopen in haar pogingen een en ander te bewijzen maar het is altijd weer een achterhoedegevecht omdat de wetenschap nou eenmaal niet weet wat de volgende stap in de evolutie zal zijn al pretendeert de wetenschap van alles te kunnen voorspellen.
Voorspellen kan men alleen in een gesloten systeem waarin alles bekend is en geen invloeden van buitenaf werkzaam zijn anders zal een voorspelling altijd een zekere foutmarge bevatten.
Door deze paar simpele zinnen probeer ik eigenlijk te vertellen dat hierdoor de wetenschap zich buiten de realiteit, ons dynamisch universum plaatst en zodoende zich een grotere broek aanmeet dan zij eigenlijk zou mogen dragen.
Daarmee beweer ik niet dat we niet veel te danken hebben aan de wetenschap want iederen kan om zich heen zien wat het ons zowel ten goede als ten kwade heeft gebracht maar de wetenschap zou zich zo af en toe wel wat bescheidener mogen opstellen.
Er zijn wetenschappers die zelfs god proberen te bewijzen of helemaal weg redeneren, ik moet altijd een beetje lachen om dat soort mensen.
Wetenschap is wat mij betreft niets meer of minder dan een specialisme wat zich bezighoudt met een deelgebied en kan op die manier nooit meer verkondigen dan wat zij binnen haar gesloten, specialistische deelgebiedje heeft bewezen.
Ik vertel niets nieuws hier want elk mens die nadenkt kan dit bedenken maar soms is het wel leuk als we per ongeluk zoals op dit forum op dit onderwerp komen om wat van gedachten te wisselen.

 

[ProgHead]

Dit wordt zo voor mij onbegonnen werk. Ik was van plan stap voor stap na te gaan of je interpretatie van Gödels stellingen wel juist is, en daarbij zo nodig wat wijdverbreide misvattingen recht te zetten. Maar dat gaat alleen als we eerst wat dieper ingaan op wat die stellingen precies zeggen. In plaats daarvan kom je nu echter met nog veel meer vermeende conclusies die dus feitelijk in de lucht hangen omdat we nog niet eens duidelijk hebben wat Gödels stellingen beweren. Helaas is dat hoe het in zulke discussies vrijwel altijd gaat. Men is zelden werkelijk geïnteresseerd in de bevindingen van de wetenschappers die men met graagte aanhaalt waar dat in de eigen kraam te pas lijkt te komen en negeert waar dat niet zo is. In het laatste geval worden wetenschappelijke bevinding vaak weggewoven met een verwijzing naar "de arrogantie van de wetenschap". Maar dat is nu eenmaal de van relativisme doortrokken tijd waarin we leven: "De wetenschap is ook maar een geloof, en een ieder heeft recht op zijn eigen mening"

Oftewel: helaas, pindakaas!

 

[Nap]

Misschien had je moeten zeggen dat het een overhoring was in plaats van een discussie.

 

[ProgHead]

Ik zal de "discussie" in dit topic niet verder in de weg zitten. Roept u maar!

 

[krautrock1958]

Misschien had je moeten zeggen dat het een overhoring was in plaats van een discussie.

Dat gevoel bekroop me wel een beetje toen ik de vraag zag moet ik zeggen.


Omdat Gödel gisteren ter sprake kwam werd het een nieuw topic.
Wellicht zitten we beide op een andere lijn?
Waarbij ik wat meer de filosofische kant benader en losjes interpreteer wat de consequenties zijn van zijn stelling en jij me vraagt of ik precies weet hoe die stelling luidt?
Toen ik je vraag las dacht ik nog van zal ik op wikipedia kijken maar ik deed het niet omdat ik niet maar een beetje wil herhalen wat daar staat, liever vertel ik het een beetje in eigen woorden vanuit m'n eigen beleving.

Ik moet je eerlijk zeggen dat ik geen wiskundige ben maar ik het wel leuk vind om vanuit die stelling een en ander op een rijtje te zetten en de consequenties te benoemen.
Als jij dat anders wil kan dat natuurlijk maar ik ben bang dat ik ga afhaken als het nogal droge,logische verhandelingen worden.
Het gaat er bij mij meer om wat dat betekent in het dagelijks leven en de praktijk, dat is uiteindelijk wat voor mij van belang is.
Als ik dan voor jou te snel en te los er op los filosofeer terwijl jij wil weten of ik precies weet hoe die onvolledigheidsstelling gaat dan wordt het niet veel tussen ons.
Als ik een filosofische consequentie bespreek dan kan jij toch rustig vertellen dat je het anders ziet?

Wat mij betreft kan je hier rustig in dit topic precies vertellen hoe het helemaal in elkaar zit, geen probleem hoor, vertel maar.
En als dan blijkt dat ik Gödel verkeerd interpreteer dan kan je me op dat moment dmv die stelling laten zien wat ik niet goed zie.
Omgekeerd kan ik ook dan jouw verhaal horen en als ik dan twijfel of het anders zie zal ik het je vertellen.
En als het dan een leuke, losse discussie wordt met hier en daar een beetje humor dan kan het zomaar dat anderen ook een duit in het zakje doen, des te leuker!

Maar mag ik dan een wedervraag stellen?
Wat voor consequenties heeft Gödels onvolledigheids stelling voor jou, wat zegt het jou in gewone bewoordingen zonder allerlei logische stellingen?
Wellicht dat dat voor de meesten op het forum interessanter is en waardoor wij als twee mensen toch met elkaar in gesprek kunnen zijn.

 

[krautrock1958]

Ik zal de "discussie" in dit topic niet verder in de weg zitten. Roept u maar!

Jij gaat de discussie/gesprek uit de weg?
Omdat het niet precies gaat zoals jij wilt?
Of voldoet het niet aan jouw methode van ondervraging?
Je laat je wel heel snel uit het veld slaan door weg te lopen ipv te reageren op m'n laatste bericht.
Dat is je goed recht want je hoeft niet te antwoorden als je dat niet wilt maar waarom open je dan een topic en na één bericht wat niet gaat zoals jij wil ben je weg?
Ik hoop niet dat je dit iedere keer doet op het forum want mensen zijn verschillend en het zal niet altijd precies het gesprek zijn zoals jij het idee hebt dat het moet gaan.
Op die manier zijn de gesprekken op het forum snel voorbij.

 

[Patat Met]

Laat ik verder gaan met deze discussie.

1 De stellingen van Gödel gaan over wiskunde, specifiek over formele systemen. Formeel systeem - Wikipedia.

2 Wiskunde is de taal van de natuur.

3 In een formeel systeem zijn er dingen waar of niet waar die je niet BINNEN dat specifieke formele systeem kan bewijzen.

4 Maar, en dit is het essentiële van de stellingen van Gödel, je kan de dingen die waar of niet waar zijn binnen dat specifieke formele systeem wel bewijzen door uit dat specifieke formele systeem te treden.
Dit doe je door een axioma toe te voegen. Je hebt dan wel weer een nieuw formeel systeem waarin je bepaalde dingen weer niet kan bewijzen. Je kan deze nieuwe dingen wel weer bewijzen door weer buiten dat nieuwe formele systeem te treden. En zo krijg je een oneindige recursie van formele systemen.
Op deze manier:

Wat voor effect heeft dat op de natuurkunde?
Zijn er dingen die we nooit kunnen bewijzen, die toch gebeuren in de natuur of andersom?
Nee!
Je kan altijd net zoveel axioma's aannemen om alles wat er in de natuur gebeurd wiskundig te verklaren.

 

[ProgHead]

Helemaal eens met Patat Met, behalve met zijn conclusie.

 

[ProgHead]

Je kan altijd net zoveel axioma's aannemen om alles wat er in de natuur gebeurd wiskundig te verklaren.

Zijn alle binnen een formeel systeem onbewijsbare maar ware uitspraken wel van het door Gödel geconstrueerde type? En zo niet hoe spoor je die uitzonderingen dan op? Is een natuurkundige theorie met oneindig veel natuurwetten voor een natuurkundige van vlees en bloed nog wel te behappen?

 

[deathspell]

En als we Gödel zelf interpreteren als een al dan niet volledig systeem, wat zegt dat dan over de stellingen die hij geponeerd heeft? Zijn dat dan niet slechts onvolledige derivaten van een volledig systeem, of volledige derivaten van een onvolledig systeem, die proberen uitspraken te doen over andere systemen, die dan per definitie volledig of onvolledig zijn? Om nog maar te zwijgen over alle systemen waar de predicaten volledig of onvolledig niet op van toepassing zijn.

M.a.w. Ah, leuk: een quasi-filosofische discussie zonder theoretische afbakening, doelstelling en de daartoe benodigde kennis! Waar is de popcorn?

 

[Bono]

Laat ik verder gaan met deze discussie.

1 De stellingen van Gödel gaan over wiskunde, specifiek over formele systemen. Formeel systeem - Wikipedia.

2 Wiskunde is de taal van de natuur.

3 In een formeel systeem zijn er dingen waar of niet waar die je niet BINNEN dat specifieke formele systeem kan bewijzen.

4 Maar, en dit is het essentiële van de stellingen van Gödel, je kan de dingen die waar of niet waar zijn binnen dat specifieke formele systeem wel bewijzen door uit dat specifieke formele systeem te treden.
Dit doe je door een axioma toe te voegen. Je hebt dan wel weer een nieuw formeel systeem waarin je bepaalde dingen weer niet kan bewijzen. Je kan deze nieuwe dingen wel weer bewijzen door weer buiten dat nieuwe formele systeem te treden. En zo krijg je een oneindige recursie van formele systemen.
Op deze manier:

Wat voor effect heeft dat op de natuurkunde?
Zijn er dingen die we nooit kunnen bewijzen, die toch gebeuren in de natuur of andersom?
Nee!
Je kan altijd net zoveel axioma's aannemen om alles wat er in de natuur gebeurd wiskundig te verklaren.

Deze tekening is toch van Esscher?

 

[MstrFX]

Laat ik verder gaan met deze discussie.

1 De stellingen van Gödel gaan over wiskunde, specifiek over formele systemen. Formeel systeem - Wikipedia.

2 Wiskunde is de taal van de natuur.

3 In een formeel systeem zijn er dingen waar of niet waar die je niet BINNEN dat specifieke formele systeem kan bewijzen.

4 Maar, en dit is het essentiële van de stellingen van Gödel, je kan de dingen die waar of niet waar zijn binnen dat specifieke formele systeem wel bewijzen door uit dat specifieke formele systeem te treden.
Dit doe je door een axioma toe te voegen. Je hebt dan wel weer een nieuw formeel systeem waarin je bepaalde dingen weer niet kan bewijzen. Je kan deze nieuwe dingen wel weer bewijzen door weer buiten dat nieuwe formele systeem te treden. En zo krijg je een oneindige recursie van formele systemen.
Op deze manier:

Wat voor effect heeft dat op de natuurkunde?
Zijn er dingen die we nooit kunnen bewijzen, die toch gebeuren in de natuur of andersom?
Nee!
Je kan altijd net zoveel axioma's aannemen om alles wat er in de natuur gebeurd wiskundig te verklaren.

Wiskunde is NIET de taal van de natuur. Maar een kuntmatige benadering.

 

[krautrock1958]

Laat ik ook maar een duit in het onvolledige zakje doen.

Wiskunde is NIET de taal van de natuur. Maar een kuntmatige benadering.

Mee eens, de natuur is in al zijn verscheidenheid meer dan een verzameling formules en stellingen en om maar 'ns iets te zeggen, de wereld die binnenkomt via je zintuigen is van een andere orde dan een fomule of een stelling.
Simpel voorbeeld; je hoort een muziekstuk en je raakt ontroerd hoe ga je dat in een wiskkundige stelling beredeneren?
Wiskunde is volgens mij een manier om het universum en alles wat zich daar binnen bevindt te verklaren maar zal nooit een volledige beschrijving van de werkelijkheid zijn, die is veel genuanceerder.
Volgens mij is de taal der natuur de informatie die je zintuigen ontvangt, dat is je gereedschap om de wereld om je heen waar te nemen en te ervaren en ervaren is weer wat anders dan beschrijven of te verklaren.
Ik kan beschrijven wat er gebeurt als ik me verbrand aan een hete pan maar ik kan het ook voelen, da's toch van een andere orde.
Wiskunde is misschien wel de taal die gebruikt wordt om alles proberen te verklaren zonder de mens daarbij in ogenschouw te nemen

 

[Disharmonic]

Laat ik ook maar een duit in het onvolledige zakje doen.

Niks mis met het zakje, hier vooral de duiten die maar al te vaak onvolledig zijn.

 

[ProgHead]

De bekende dooddoeners. Feit is dat de natuurkunde pas een grote vlucht heeft genomen toen men volop gebruik ging maken van empirisch onderzoek en van wiskundige beschrijvingen. Geen enkele serieuze natuurkundige zal beweren dat de natuurkundige modellen volmaakt zijn of dat we daar alles (al) mee kunnen verklaren. Maar dat de taal van de wiskunde verbazend goed werkt staat als een paal boven water. Ook is er een verschil tussen een taal en de dingen die daarmee beschreven worden. Maar dat is geen gebrek van de taal en bewijst niet dat de wiskunde niet de taal van de natuur is.

 

[vinnieq]

Waarom zou de natuur een taal hebben? Wij hebben een taal nodig om de natuur te beschrijven en onze observaties te begrijpen. Taal = communicatie. En wat bedoel je eigenlijk met natuur?