audiocollage
@WaveGuide7 als je een blokgolf zijn pulsbreedte toeschuift kom je ook dichter bij een zaagtand (all harmonics).
Heb je voor die bewerking een (eenvoudige) formule ?
En hoe giet je het onpaar gedoe in die formules hierboven (odd of even ... zoiets dus) ?
als je de pulsbreedte ("duty cycle") van de blokgolf steeds kleiner maakt, is er meer en meer sprake van een "trein van zuivere (Dirac-)pulsen". Het spectrum van zo'n pulstrein bevat inderdaad "alle" harmonischen, maar ze hebben, anders dan de zaagtand, allemaal een even grote amplitude. Daardoor heeft het spectrum van de pulstrein dezelfde vorm als de pulstrein zelf! (Er bestaat geen ander tijdsignaal dat die eigenschap heeft, d.w.z. gelijkvormig is met z'n eigen spectrum, (behalve witte ruis dan)).
Als:
A[n] = amplitude van de n-de boventoon
f = frequentie (in Hz) van pulsgolf
w = 2*pi*f
D = duur (in sec) van duty cycle
dan luidt de formule voor sterkten boventonen pulsgolf met willekeurige pulsbreedte:
A[n] = sin(n*w * D) / n
En hoe giet je het onpaar gedoe in die formules hierboven (odd of even ... zoiets dus) ?
Dat gebeurt al automatisch in de bovenstaande formule, d.w.z. als D = 1/(4*f), dan is
sin(n*w * D) / n =
sin(n*(2*pi*f) * D) / n =
sin(n*(2*pi*f) * 1/(4*f)) / n=
sin(n*(2*pi*f)/(4*f)) / n =
sin(n*(pi/2) / n =
sin(0) / n = 0 als n een even getal is. Dus alle even boventonen zijn nul. Vandaar die holle, nasale klank blokgolf.
Wat ik me afvraag:
Beide functies kunnen geschreven worden als een fourierreeks en zijn dus bepaald door hun spectrum. Er moet dus ook een transformatie bestaan tussen deze twee spectra. Dus ik veronderstel dat je door erg strak in het spectrum te snijden (met dirac-functies bvb) willekeurig dicht zou kunnen komen van een triangle. Is zoiets mogelijk of zit je met het probleem dat je een oneindige set basisfuncties hebt en het in het eindige geval niet werkt?
We spreken van 'transformatie' als het gaat om twee verschillende variabelen (Fourierpaar), in 't geval van audio die van tijd en frequentie. Er kan geen sprake zijn van zoiets als een 'Fouriertransformatie tussen spectra', want daarbij is slechts 1 variabele, de frequentie, in 't spel.
Wel bestaat er een wiskundige relatie tussen beide spectra: de een is het kwadraat van de ander.
Je kunt een driehoekgolf omvormen tot een blokgolf door de driehoek te filteren met een 'differentiatie-filter' de differentiator.
Omgekeerd kun je een blokgolf weer omvormen tot een driehoek met een filter dat de inverse is van die differentiator; die heet - hoe ka 't anders - een integrator.
Overigens zijn beide filters analoog. Wel kun je ze discreet benaderen met elke gewenste graad van nauwkeurigheid.
@audiocollage: Je komt toch helemaal niet dichter bij een zaagtand door de pulsbreedte van een blokgolf te veranderen?
Volgens mij wel. Niet grafisch maar qua inhoud aan boventonen (klankkleur dus).
je komt dichter bij de (Dirac-)pulstrein; met spectrum zie boven.
.
